E Anai Wfhxew

N!1 0 Also gilt X n L2!0 Mit.

E anai wfhxew. W(t) = 1 t2 et t 1 3t3 tet te t2 Wir w ahlen t= 1 (t>0 ist vorausgesetzt, daher k onnen wir nicht t= 0 w ahlen!) und berechnen W(1) = 1 e 1 3 0 = e 3 6= 0 Damit haben wir die lineare Unabh angigkeit nachgewiesen Aufgabe 38 (Blatt 7HM II609) Gegeben sei die folgende Di erentialgleichung fur yin x2R y000(x) y00(x) 4y0(x) 4y(x) = 0 (a) Bestimmen Sie die. W den Nullvektor von W Der Kern von fist dann die Menge Kernf= n x2V f(x) = 0 W o V Da gem¨aß Vorlesung stets f(0 V) = 0 W ist, gilt zumindest f0 Vg Kernf Wir setzen voraus, daß finjektiv ist Da fschon 0 V auf 0 Wabbildet, wird aufgrund der Injektivitat¨ von fkein weiterer Vektor x2Vnf0 Vgauf 0 W abbgebildet Es ist also Kernf= f0 Vg Sei nun Kernf= f0 Vg Wir betrachten zwei. Frequenz und Periodendauer berechnen Hz ms Formel Formelsammlung Akustik Rechner Frequenzformel Schwingungsdauer Periode Dauer Perioden amplitude umrechnen t=1/f Wellenlänge Rechner Hertz Schwingung umrechnen Amplitude Kreisfrequenz Eberhard Sengpiel sengpielaudio.

(v w) = v w 3 Normierung Fur alle v2V ist 1v= v Man kann nat urlich den Vektorraumbegri auch de nieren, ohne auf den Gruppenbegri zur uckzugreifen Die Axiomenliste wird dann um einiges l anger 1 Sei v 1;;v n2V eine endliche Familie von Vektoren Die Familie heiˇt linear unabh angig , falls fur alle 1;;. , h ¶ È ´ ¶ µ v í ° Þ , Ó ½ W 6 u ³ y F ½ þ Ø { j Ó L K X GHHS GHFDUERQLVDWLRQ q b ò ° W v > ¨ Å " , « ò ò Ø U W v » µ , È. ProfDrReinerLauterbach JanHenrikSylvester Sommersemester16 ÜbungenzurFunktionalanalysis Lösungshinweise–Blatt8 Aufgabe 29 Fürm∈R,p∈1,∞ seiwm,p= {x N →R {nmx n} n∈N ∈‘p} mit kxk wm,p = k{nmx n} n∈Nk ‘p (RdW 5) Zeigen Sie, dass für 1 < p < ∞ und 1 p.

ò ¿ Ì c à / þ > Ó ½ W 6 ¶ ½ 9 ñ ò ° µ ¼ ò q ?. W= e 2ˇi n mit jwj= 1undarg(w) = 2ˇ n l ost die Gleichung zn= 1 36 Der Fall n= 5 w 37 Auch die komplexen Zahlen 1 = w0;. (a n) ist also nach oben nicht beschr ankt \(\ Sei c.

A n a l y s i s I WS 16/17 Basierend auf einem Skript von E Kuwert Guofang Wang Mathematisches Institut Universit at Freiburg. 8 Die W armeleitungsgleichung 22 9 Etwas Fourieranalysis24 10 Die W armeleitungsgleichung, Teil II 27 11 Die Wellengleichung31 12 Lineare Di erentialgleichungen zweiter Ordnung38 13 Die Por oseMedienGleichung 40 14 Die Methode der Charakteristiken43 15 Distributionskalk ul 51 16 Sobolewr aume56 17 Der W armeleitungskern 63 2 1 Allgemeines Wiederholung F ur 2Nn 0 sei j j= 1 j n. Hinweis für Programmierer Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, kann man für jeden yWert die Nullstelle der Hilfsfunktion h(x) = x·e x y berechnen Für y > 0 ist das Newtonverfahren das geeignete, für y kleiner 0 nicht, da die Funktion h bei 1 eine waagrechte Tangente hat Mit dem Intervallhalbierungsverfahren ist die Ermittlung der Nullstelle von h jedoch kein Problem.

W ahlen wir nnun so, dass 2 n nmaximal ist, dann ist ( n) n2IN monoton wachsend und X n!P 0 Es gilt aber sup k n X k= 1 auf ganz 0;1, daher ist P(jsup k n X kj>") = P(sup k n X = 1) = 1 und X n konvergiert somit nicht fast sicher gegen 0 2 Es ist EjX n 40j2 = EX2 = 1 nloglogn E 2 6 0 @ j=1 Y j 1 A 2 3 7 5= 1 nloglogn V 0 @ j=1 Y j 1 A= 1 loglogn !. Rsei difierenzierbar auf I und x0 2 I0 mit f0(x0) = 0 f hat im Punkt x0 ein † ein relatives Minimum, wenn das Vorzeichen von f0 bei wachsendem x an der Stelle x0 von ¡ nach wechselt † ein relatives Maximum, wenn das Vorzeichen von f0 bei wachsendem x an der Stelle x0 von nach ¡ wechselt. 2 von 0 verschieden sein Damit w aren v 1;v 2 linear abh angig, ein Widerspruch Also ist 3 6= 0, und es gilt v 3 = 1 3 v 1 ( 2 3)v 2 Die Behauptung gilt also f ur = 1 3 und = 2 3.

Sei umgekehrt R ein Ring mit den einzigen Idealen f0g und RF˜ur x 6= 0 aus R ist 1¢x = x 6= 0, also das Ideal (x) = fr ¢x ;. 1018 Satz Es sei I ein Intervall (wie in 922 speziflziert), die Funktion f I !. Allerdings ist f(A) = fyg= f(B) und damit f(A) \f(B) = fyg Also ist f(A) \f(B) 6= f(A\B) und damit gilt c) nicht Damit ist alles gezeigt Achtung, h au ger Fehler f ist injektiv bedeutet 8x 1;x 2 2X mit f(x 1) = f(x 2) folgt, dass x 1 = x 2 gelten muss Will man nun wie oben.

Konvergiert fur alle w 2 C Ist nun z 2 C beliebig, so erhalten wir die Konvergenz der Potenzreihe (11), indem wir w = z2 in (12) setzen Somit konvergiert auch die Potenzreihe (11) f ur alle z 2 C und hat somit den Konvergenzradius 1 1Sei (an)n 1 eine monoton fallende Nullfolge in R und z2 Cnf1g mit j = 1 Dann konvergiert die Reihe ∑ n=1 n n (c) Nach Satz 1224 gilt f ur den. @U Dfx 2 M W x Randpunkt von Ug den Rand von U;. Aufgabensammlung zur Vorlesung Analysis II Dr Katja Ihsberner1 und Prof Dr habil Jochen Merker2 zuletzt aktualisiert am 19 August 16 1Universit at Rostock, Institut f ur Mathematik, Ulmenstr 69, Haus 3 2HTWK Leipzig, Fakult at Informatik, Mathematik uNaturwissenschaften, GustavFreytagStr 42A.

Lösungen zu den Übungsaufgaben (*) a und b keinen gemeinsamen Teiler k ≥ 2 haben Um einen Widerspruch zur Annahme ¬A = » √ 2 ist rational« zu erhalten, reicht es also zu. KAPITEL2FehleranalyseKondition,Rundungsfehler,Stabilit¨at Datenfehler Fehler im Algorithmus Fehler im Resultat DahmenReusken Kapitel 2 1. Stefan K 1Ubungsblatt Algebra I¨ Aufgabe 1 1 zu zeigen (g −1) = g ∀g ∈ G, G Gruppe Beweis Aus dem Gruppenaxiom fur das Linksinverse zu¨ g haben wir g−1g = e, (1) und f¨ur das Linksinverse zu g−1 (g −1) g−1 = e, (2) Unter Verwendung des Assoziativgesetzes ist.

CApprich, FGaspoz LOstrowski,JMagiera FStoll, MWerth 14 Gruppen¨ubungzurVorlesung H¨ohereMathematik2 MK¨unzer MStroppel Sommersemester 16. (c) Es gilt lim x→ π 2 ln(π2 −x) tanx 0 = lim0 x→ 2 µ −1 π 2 −x ·cos2 x 0 = lim0 x→π 2 2cosxsinx −1 = 0 (d) Hier ist lim x→0 xtanx = lim x→0 etanxlnx = exlim →0 (tanxlnx) Die letzte Umformung ist wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion m¨oglich. Dann w ahlen wir A= fx 1gund B= fx 2g Da x 1 und x 2 verschieden sind, ist A\B= ;und deshalb ist auch f(A\B) = ;.

W are n amlich z2B "(x) \B "(y), so folgte nach Dreiecksungleichung = d(x;y) d(x;z) d(z;y) < 3 3 = 2 3, Widerspruch Somit existieren zu je zwei verschiedenen Punkten x;y2Mdisjunkte o ene U;V ˆMmit x2Uund y2V Zusatzaufgabe 14 (Beispielmetriken) (a)Ist die Abbildung d(x;y) = jx3 y3jeine Metrik auf R ?. Bezeichnen wir mit kleinen lateinischen Buchstaben wie u,v,w Nur wenn Verwechslungsgefahr besteht, verwenden wir Pfeile auf Vektoren, zB um den Nullvektor 0= ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ von der skalaren Null 0 zu unterscheiden 219 Mathematik f¨ur Informatiker, WS 03/04, SS 04 KAPITEL 34 VEKTORRAUME¨ Prof J Weickert 343 Satz (Rechenregeln f¨ur Vektorr ¨aume) In. Ubungen zur H¨ ¨oheren Analysis Blatt 5 WS08/09 Ernst B¨onecke 119) Sei A ⊂ Rn messbar, und f¨ur k ∈ N∗ seien f k A −→ C Lebesgueintegrierbar Die Folge (f k) k∈N konvergiere auf A gleichm¨aßig gegen eine Funktion f Zeigen Sie, dass auch f ¨uber A integrierbar ist, und dass.

32 Polynominterpolation – HermiteInterpolation Satz Interpolationsfehler in Aufgabe (312) • Beweis (Fortsetzung) • x∈ (a,b), x6= x i für alle i, beliebig aber fest betrachte h(z) = (f(x)−p(x))ω2 n1(z)−(f(z)−p(z))ω2 n1(x) − h(z) besitzt in z= x i eine doppelte Nullstelle, weil ω n1(x i) = 0 und dieser Faktor quadratisch vorkommt. W ahle 0= und = Damit folgt 0c= a ^ 0d= 0b und somit (c;d)R(a;b) transitiv Es gilt (a;b)R(c;d) ) a= c^ b= d (c;d)R(e;f) ) 0c= 0e^ d= 0f Durch geeignete Multiplikation der Gleichungen entsteht 0a= c= 0e und 0b= d= 0f Mit 00 = 0 und 00 = 0 folgt 00a= 00e ^ 00b= f und somit (a;b)R(e;f) Aufgabe 3 (Verknupfung partieller Ordnungen) Seien R A Aund S A Apartielle Ordnungen uber A (a) Zeigen.  · Wie kann ich W deuten kann?.

N 2kmit P n i=1 iv i = 0 gilt 1 = = n = 0 Eine beliebige Familie v i 2V fur. Aufgabe 8 (Extremwerte) Man bestimme die relativen Extremwerte von w = f(x;y) = yx2(4 x y) im Dreieck, das begrenzt wird durch x= 0, x= 0, x y= 6 L osungsvorschlag Zun achst die ben otigten partiellen Ableitungen f(x;y) = 4x2y x3y x2y2 f x(x;y) = 8xy 3x2y 2xy2 = xy(8 3x 2y) f xx(x;y) = 8y 6xy 2y2 f xy(x;y) = f yx(x;y) = 8x 3x2 4xy= xy(8 3x 2y) f y(x;y) = 4x2 x3 2x2y= x2(4 x 2y) f yy(x;y. UV Dfx 2 U W U Umgebung von xg den offenen Kern;oder das Innere von U;.

Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 14/15 UniversitätHeidelbergIWR ProfDrGuidoKanschat DrDörteBeigel PhilippSiehr Blatt10 AbgabeterminFreitag,,11Uhr. Satz 845 Sei Y !R eine Zufallsvariable mit EY. R 2 Rg 6= f0g Somit gilt nach Annahme (x) = RWegen 1 2 R gibt es also ein r 2 R mit r ¢ x = 1 Daher ist x invertierbar in RDa dann jedes Element x 2 R invertierbar ist und 0 6= 1 gilt, ist K ein K˜orper Deflnition 13 Ein Ring R heit nullteilerfrei, falls.

Wasser ein Phänomen Chemie Aufgaben;. Lineare Algebra II Skript zur Vorlesung im Sommersemester 07 an der TU Berlin Vorlesung Dr J¨org Liesen (Raum MA 378, Email liesen@mathtuberlinde). U D U @U die abgeschlossene Hulle ¨ von U Schließlich ist x 2 M Haufungspunkt von¨ U, wenn in jeder Umgebung von x mindestens ein y 2 U, y ¤ x, liegt (Wir konnten genau so gut verlangen, daß in¨ jeder Umgebung unendlich viele Punkte von U liegen).

Ii) W¨ahle n2 so groß, dass n2 > n1 und xn2 −a < 1 2 iii) W¨ahle n3 so groß, dass n3 > n2 und xn3 −a < 1 3 Diese Konstruktion f¨uhrt zu einer Teilfolge ( xn k)k mit der Eigenschaft, dass xn k −a < 1 k Also konvergiert (xn k) gegen a, was zu zeigen war Ein wichtiges Konvergenzkriterium ist das Cauchy–Kriterium Definition. Bernoulli Zahlen programmiererisch berechnen?. N) monoton w¨achst, konvergiert ( S n) uneigentlich gegen ∞ QED Auf dieses Argument kommen wir sp¨ater beim ” Kondensationskriterium“ 3 zuruck¨ Der Satz 228 liefert f¨ur reelle Reihen folgendes Konvergenzkriterium Satz 311 (Reihenkonvergenz bei positiven Summanden) Sei (x n) eine reelle Nullfolge mit x n ≥ 0 Die Reihe P.

N w¨achst unbeschr¨ankt an, ist also nicht konvergent Aufgabe H4 Stetigkeit Zeigen Sie, dass die folgende Funktion in x = 1 unstetig ist f(x) = (x x2−1 f¨ur − 5≦x , x 6= 1 0 f¨ur x = 1 L¨osungshinweise hierzu Man betrachte die Folge x n= 1n n, dann ist f(x n) = n 2 12n Nun gilt x n −→ 1, aber f(x n) divergiert und l¨auft somit nicht gegen 0 = f(1) wwwmathematikuni. HumboldtUniversitat¤ zu Berlin Institut fur¤ Mathematik Lehrstuhl fur¤ Geometrische Analysis und Spektraltheorie Aufgaben zur Analysis IV mit Losungen¤. Definition 41 Seien (Ω,A,P) ein WRaum und Xii,Bi) ZV fu¨r i = 1,2, Dann heißen X1,X2, (stochastisch) unabha¨ngig (bzgl P ), wenn gilt (∗) P(Xi1 ∈ Bi1,,Xi k ∈ Bi k) = P(Xi1 ∈ Bi1)···P(Xi k ∈ Bi k) fu¨r jede endliche Auswahl {i1,,ik} ⊂ N, Bi ν ∈ Biν (ν = 1,,k) Bemerkung 41 a) Nach Definition 41 genu¨gt die Betrachtung von jeweils endlich vi.

Aber gleichzeitig w¨are f ¨ur alle x∈ A 1∩A 2 f(x) 6=y Insbesondere folgt daraus x 1 ∈ A 2 und x 2 ∈ A 1 Somit muss x 1 6=x 2 gelten und f w¨are nicht injektiv Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass f injektiv ist Also ist unsere Annahme falsch Folglich muss die Gleichheit f(A 1∩A 2) = f(A 1)∩f(A. Lineare Algebra 2 Prof Dr R Dahlhaus Dr S Richter, N Phandoidaen Sommersemester 19 4 Abgabeblatt – L¨osungen Aufgabe 13 Aufgabe 14 Aufgabe 15 Aufgabe 16 Summe. In diesem Artikel geht es um die Integration von EFunktionen Dies wird durch einige Beispiele gezeigt Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Gerhard Keller Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung im Wintersemester 13/14 Department Mathematik, Universität ErlangenNürnberg Letzte Änderung 6. W ahle a2arp und b2brp Dann ist ab2ab ˆp mit a;b62p, was der De nition von Primideal widerspricht 3(a)Zeige, dass jeder endliche Integrit atsbereich ein K orper ist (b)Sei Rein Ring und I ein Primideal von Rmit endlichem Faktorring R=I Folgere aus (a), dass Iein maximales Ideal von Rist L osung (a)Sei R ein endlicher Integrit atsbereich Wir beweisen, dass jedes Element. (b)Zeigen Sie, dass fur einen metrischen Raum ( X;d) durch d0(x;y) = d(x;y) 1.

V !W eines Vektorraums V in einen Vektorraum W Wenn V = W, so nennt man f V !V auch einen Endomorphismus Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W bilden einen Untervektorraum Hom K(V;W) ˆAbb(V;W) (vgl (7)) Wir schreiben auch End K(V) = Hom K(V;V) fur den Vektorraum der Endomorphismen Der Kern von fist ein Unterraum von V Kerf= f 1(0) Das Bild von fist ein Unterraum von W. Denn w are 3 = 0, so w urde 1v 1 2v 2 = 0 folgen, und es m usste mindestens eines von 1;. Oof(0)= 3 > Schnittpunkt P(03)oo.

Ferienkurs Seite 4 6 Aussagen uber Folgen Sei (a n) n2N ˆR Zeigen Sie limsupa n = 1,(a n) n2N ist nicht nach oben be schr ankt L osung ")\ limsupa n= 1heiˇt, dass es f ur alle c2R unendlich viele n2N gibt mit a n>c;. Alle neuen Fragen Ortskurve der Wendepunkte von fa(x) = e^2x a*e^x Nächste » 0 Daumen 1,8k Aufrufe Also, ich habe schonmal die erste und zweite Ableitung gebildet fa'(x) = 2*e^2x. W3 ;wk= e2ˇik=n liegen auf dem Einheitskreis Sie erf ullen ebenfalls die Gleichung zn= 1, wegen (wk)n= wkn= (wn)k= 1k= 1 38 Die f unf L osungen von z5 = 1 w 1 w2 w3 w4 39 Ab wnwiederholen sich die Potenzen periodisch, wegen wn= 1 Diese.

JustusLiebigUniversitätGießen Fachbereich07 MathematischesInstitut VorkursMathematik Einführung in das mathematische Denken Übungsaufgaben mit Lösungen. ONotation /Landau Notation beweisen oder widerlegen;. Mathematik für Informatik 2 Vorlesungsskriptum Sommersemester Peter Buchholz Günter Rudolph Version 31 Mai Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund.